Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ACM bằng nhau. (Miễn phí)

Chứng minh những hệ thức:

a) $1+{\tan }^{2}a=\frac{1}{{\cos }^{2}a}$;

b) $1+{\cot }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$.

Một người đứng bên trên tháp để ý của ngọn đèn biển cao 50 m coi về phía Tây Nam, người bại để ý nhị lượt một phi thuyền đang được khuynh hướng về ngọn đèn biển. Lần loại nhất người bại nhận ra thuyền với góc hạ là 20°, lượt thứ hai người bại nhận ra thuyền với góc hạ là 30°. Hỏi phi thuyền đã từng đi được từng nào mét thân thích nhị lượt quan liêu sát? (làm tròn xoe cho tới chữ số thập phân loại nhất)

Một mảnh đất nền hình chữ nhật bị xén lên đường một góc (hình vẽ), phần sót lại với hình trạng tứ giác ABCD với chừng lâu năm những cạnh là AB = 15m, BC = 19m, CD = 10m, DA =  20m. Diện tích mảnh đất nền ABCD vì như thế từng nào mét vuông (làm tròn xoe thành phẩm cho tới sản phẩm đơn vị).    

Cho (O), điểm A ở phía bên ngoài lối tròn xoe. Vẽ những tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C nằm trong lệ thuộc 1 lối tròn xoe.

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC.

c) Gọi I là gửi gắm của BC và DE. Chứng minh AB² = AI.AH.

d) BH hạn chế (O) ở K. Chứng minh AE // CK.

Cho lối tròn xoe (O; R) và điểm A thắt chặt và cố định ngoài lối tròn xoe. Vẽ đường thẳng liền mạch d vuông góc với OA bên trên A. Trên d lấy M. Qua M kẻ tiếp tuyến ME, MF với (O). Nối EF hạn chế OM bên trên H, hạn chế OA bên trên B.

a) Chứng minh tứ giác ABHM nội tiếp.

b) Chứng minh OA.OB = OH.OM = R².

c) Chứng minh tâm I của lối tròn xoe nội tiếp tam giác MEF nằm trong một lối tròn xoe thắt chặt và cố định khi M dịch chuyển bên trên d.

d) Tìm địa điểm của M nhằm diện tích S tam giác HBO lớn số 1.

Cho lối tròn xoe (O) chão cung BC (BC ko là lối kính). Điểm A địa hình bên trên cung nhỏ BC (A không giống B và C, chừng lâu năm cạnh AB không giống AC). Kẻ 2 lần bán kính AA' của lối tròn xoe (O), D là chân lối vuông góc kẻ kể từ A cho tới BC. Hai điểm E, F theo thứ tự là chân lối vuông góc kẻ kể từ B, C cho tới AA'.

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, D, E nằm trong phía trên 1 lối tròn xoe.

b) Chứng minh BD.AC = AD.A'C.